微积分学习笔记

重要公式

$$\sin\alpha=\cos(\alpha-\frac\pi2)$$

(加是提前,也就是坐标向左移,时间也一样,P在O后,应当加某个偏移量实现O的振动函数计算).

和差化积:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$$ $$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$$

另外还有

$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$$

积化和差:

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac12(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$$

另外还有

$$\cos\alpha\sin\beta=\frac12(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta))$$ $$\cos\alpha\cos\beta=\frac12(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))$$ $$\sin\alpha\sin\beta=-\frac12(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta))$$

基本不等式：

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$

求积分

$$\begin{aligned} \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x&=\ln |x|+C \\ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin x+C \\\int-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx&=\arccos x+C \\\int\frac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\int\sec^2x&=\tan x+C \\\int\frac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x=\int\csc^2x&=-\cot x+C \\\int\sec x\tan x\mathrm{d}x&=\sec x+C \\\int\csc x\cot x\mathrm{d}x&=-\csc x+C \\\int\tan x\mathrm{d}x&=-\ln |\cos x|+C \\\int\cot x\mathrm{d}x&=\ln|\sin x|+C \\\int\sec x\mathrm{d}x&=\ln|\sec x+\tan x|+C \\\int\csc x\mathrm{d}x&=\ln|\csc x-\cot x|+C \\\int\arcsin x\mathrm{d}x&=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C \\\int\arccos x\mathrm{d}x&=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C \\\int\arctan x\mathrm{d}x&=x\arctan x-\frac{\ln|x^2+1|}{2}+C \\\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C \\\int\frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \\\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin\frac{x}{a}+C \\\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x&=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \\\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x&=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{aligned}$$

第一换元法(吃数法)

$$\boxed{\int f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm{d}x=\Big[\int f(u)\mathrm{d}u\Big]_{u=\phi(x)}}$$

吃掉部分函数,扔到$\mathrm dx$里面(要还原),如:(注意 $\ln x$ 不加绝对值)

$$eg:\int\frac{1}{x\ln x}\mathrm dx=\int\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}\ln x=\ln|\ln x|+C$$

第二换元法(反函数法)

$$\boxed{\int f(x)\mathrm dx=\Big[\int f[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm dt\Big]_{t=\psi^{-1}(x)}}$$

应用:三角换元,利用两个众所周知的公式来换元消根号的:

$$\boxed{\begin{aligned}\sin^2x+\cos^2x&=1\\\tan^2x-\sec^2x&=1\end{aligned}}$$

分部积分法

$$\boxed{\int uv'\mathrm dx=uv-\int vu'\mathrm dx}$$

第七章 空间解析几何

空间直角坐标系:左下角x,横着y,往上走的是z.
八个卦限,想象两个连成串的U形排在周围.

向量

向量的样子:$\mathbf a=2\mathbf i+3\mathbf j+4\mathbf k$或$\mathbf a={2,3,4}$

求夹角:

$$\cos\theta=\frac{\mathbf{a\cdot b}}{|\mathbf a||\mathbf b|}$$

求投影:$\mathbf b$在$\mathbf a$上投影记作:

$$\mathrm{Prj}_\mathbf a\mathbf b=|\mathbf b|\cos\theta$$

空间两点距离,向量加减运算略过,这里只关注向量叉乘.

$$\mathbf a=(a,b,c),\mathbf b=(d,e,f)$$ $$\mathbf a\times\mathbf b=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a&b&c\\d&e&f\end{vmatrix}$$

向量叉乘的结果是个向量.它的方向是右手由$\mathbf a$握向$\mathbf b$时大拇指的方向.

向量点乘的结果为0代表两向量垂直,叉乘结果为零代表两向量共线.叉乘结果的意义是,求出来的向量的大小就是向量$\mathbf a,\mathbf b$围成平行四边形的面积.

但判断平行不需要这么复杂的办法,当$\mathbf a$与$\mathbf b$平行时,$\mathbf{a,b}$每一项都成比例.

向量的混合积:

$$\mathbf a=(a,b,c),\mathbf b=(d,e,f),\mathbf c=(g,h,i)$$ $$[\mathbf{abc}]=(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$$

且有

$$[\mathbf{abc}]=[\mathbf{bca}]=[\mathbf{cab}]$$

混合积的含义是$\mathbf{a,b,c}$围成平行六面体的体积,混合积为0的含义是三向量共平面.

平面

平面公式:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

过三点的平面方程:直接设,然后代数,求出$A,B,C$都用$D$表示的式子,然后因为右端为0直接把$D$消了.

平面的法向量: 若$\pi:Ax+By+Cz+D=0$,则$\mathbf n={A,B,C}\perp\pi$.

点法求面:

$$\small若平面\pi经过点M(x_0,y_0,z_0)且法向量为\mathbf n\{A,B,C\},\\则\pi:A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

点到面距离:

$$\boxed{d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$$

直线

两种表示方法:

$$\begin{cases}x+2y+3+4=0\\5x+6y+7z=0\end{cases}\small或\normalsize \frac{x+3}{11}=\frac{y}{45}=\frac{z-7}{14}$$

求两个面交线方程:直接联立.

切平面经过该直线:设(平面1)+$\lambda$(平面2)=0然后直接出法向量,不用求切平面.

直线的平行线(方向向量):

$$\small 若\normalsize L:\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases},\small则\boxed{\normalsize\mathbf s=\{A_1,B_1,C_1\}\times\{A_2,B_2,C_2\}//L}$$

点方向求线:

$$若L过点M(x_0,y_0,z_0)且方向向量为\mathbf s\{l,m,n\},则\\\boxed{L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$$

点到直线距离:

$$先求点M(x_0,y_0,z_0)到直线L(其方向向量\mathbf s=\{l,m,n\})的投影点M_P(x_p,y_p,z_p).$$ $$联立\begin{cases}l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0\\直线方程\end{cases}求解M_P$$

曲线

求 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$形式的曲线在某点切线与法平面:在点$(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$的切线方程为:

$$\boxed{\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)}}$$

法平面方程为:

$$\boxed{x'(t_0)[x-x(t_0)]+y'(t_0)[y-y(t_0)]+z'(t_0)[z-z(t_0)]=0}$$

曲线

如$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6\\z=x^2+y^2\end{cases}$某点切线方程为:

$$\boxed{\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{y'_x(x_0)}=\frac{z-z_0}{z'_x(x_0)}}$$

法平面方程为:

$$\boxed{(x-x_0)+y'_x(y-y_0)+z'_x(z-z_0)=0}$$

曲面

求某点的切平面和法线:切平面方程为:

$$\boxed{F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0}$$

法线方程为:

$$\boxed{\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}}$$

第一章 多元函数的极限和连续性

平面点集写作$\mathbf R^n$,线性运算和线性空间同向量和坐标的运算.距离等只是多了几项而已.n维$\mathbf{Euclid}$空间就是n维空间.

邻域：$U(P_0,\delta)$就是距离点$P_0$小于$\delta$的区域。想象一个圆或者球体(不算边界).去心邻域不算中心点,写作$\mathring U$

内点,外点,边界点:设点集$E\subset \mathbf R^2$,对于点$P_0\in E$,若$\exists \delta>0$,使得$U(P_0,\delta)\subset E$,则称$P_0$为点集$E$的内点.
边界点,外点同理.

开集:点集中的每一点都是它的内点,就叫开集.

边界:写作$\partial E$.

连通性:总存在完全属于点集的折线连接两点,这个点集称为连通的.

开区域:连通的开集.简称区域.闭区域就是开集并上边界,写作$\overline E=E\cup\partial E$.

聚点:附近有内点的点.内点必定是,外点必定不是,边界点可能是也可能不是,比如$E={(x,y)|x^2+y^2=0$或$1\le x^2+y^2<4 }$中的0是边界点但不是聚点.闭集:所有聚点都属于它的点集.

开集的余集是闭集,闭集的余集是开集.

多元函数:好几个变量的函数.

题型:画图,指出是否为开区域,逆变换,逆变换是重点.

设$f(x+y,\frac{y}{x})=x^2+y^2$求$f(x,y)$

思路:设$m=x+y$,$n=\frac{y}{x}$
分别求出x=?,y=?,然后回代式子,记得把mn用xy代替.

练习:设$f(\sqrt{x^2+y^2},\arctan\frac{y}{x})=\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}$求$f(x,y)$

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二重极限:xy同时取极限得到的值.证明同极限的证明.注意,xy以任何方式趋于定点极限都一样才有这个极限成立.

eg:设$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

沿x轴沿y轴都好证,考虑举特例:沿直线y=kx时,极限不存在:

$$\lim_{(x,kx)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{x\to0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}\neq0$$

求极限可以构造.构造不等式或者凑配,如求

$$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{\sin(xy)}{y}&=\lim_{(x,y)\to(1,0)}\Big[\frac{\sin(xy)}{xy}\cdot x\Big]\\&=\lim_{xy\to0}\frac{\sin(xy)}{xy}\cdot\lim_{x\to1}=1\end{aligned}$$

二次极限:先求一次极限,再求一次极限.可以证明,$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的二重极限和两个二次极限都存在时必相等,此时二次极限可以交换顺序.

多元函数连续性,对xy两元连续$\implies$对x,y连续,不能反过来推.一致连续和单元函数一样.

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第二章 多元函数的微分学及其应用

求偏导:把要求的变量正常求导,对于不需要求偏导的看成常数.

eg: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 求偏导数(没说哪个变元就都求一遍偏导)

$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$$

根据自变量x,y,z在函数表达式中的对称性,可得

$$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r} ,\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}$$

几何意义:一张凉皮,拿刀按照维度平行切开,变成一条一条的.

已知函数xx,求在(xxx)点偏导写法:

$$\boxed{\frac{\partial W}{\partial x}\Big|_{x=1,y=2,z=3}=xx}$$

关系:

$$偏导连续\implies函数可微\implies\begin{cases}函数连续\\\not{\Updownarrow}\\函数能偏导\end{cases}$$

高阶偏导:看清次序,先对谁求导,结果再求一次偏导即可.(下面的是先对y再对x,虽然和先对x偏导和再对y偏导结果一样)

$$f_{yx}(x,y)=z_{yx}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)$$

多元复合函数偏导:$F=u+v+w,u=x+y,v=,w=$形如这样的式子求$\frac{\partial F}{\partial x}$公式如下:

$$\boxed{\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x}}$$

先设数再回代:如$z=e^{xy}\sin(x+y)$可以$xy$设一个$u$,$x+y$设一个$v$.

多元隐函数的偏导:已知$x^2+2y^2+3z^2+xy+xz+yz=0$,求$\Large\frac{\partial z}{\partial x}$.解法如下:

首先有一个公式:

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\large-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}}$$

先设F=xxx,不让他等于0,分别对F求偏导,然后套公式.这里特别注意一个点:有些变量的偏导不能忽略.
例题:求上一个式子的二阶导.

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x+y+z}{6z+x+y}$$ $$\begin{aligned}\frac{\partial^2z}{\partial x^2}&=-\frac{\partial(\frac{2x+y+z}{6z+x+y})}{\partial x}\\&=-\frac{\frac{\partial(2x+y+z)}{\partial x}(6z+x+y)-(2x+y+z)\frac{\partial(6z+x+y)}{\partial x}}{(6z+x+y)^2}\\&=-\frac{(2+\frac{\partial z}{\partial x})(6z+x+y)-(2x+y+z)(6\frac{\partial z}{\partial x}+1)}{(6z+x+y)^2}\end{aligned}$$

注意:因为求z的偏导默认z是可以由x,y表示的,所以z不可以看成常数,要把之前算出来的加入计算

求多元函数全微分:有多少个变量就求多少个偏导

$$\boxed{\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y}$$

求多元复合函数的全微分:套娃
例题:已知$Z=u^2+v^3,u=x+y,v=3x+5y,$求$\mathrm{d}Z$
套上一个点的公式,求出

$$\mathrm{d}Z=3(x+y)^2\mathrm{d}u+3(3x+5y)^2\mathrm{d}v$$

然后分别求$\mathrm{d}u,\mathrm{d}v$,得到(并化简)

$$\begin{aligned}\mathrm{d}Z&=3(x+y)^2(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y)+3(3x+5y)^2(3\mathrm{d}x+5\mathrm{d}y)\\&=[3(x+y)^2+9(3x+5y)^2]\mathrm{d}x+15[3(x+y)^2+15(3x+5y)^2]\mathrm{d}y\end{aligned}$$

高阶全微分:组合数公式.

$$\mathrm d^nz=\sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k\frac{\partial^nz}{\partial x^k\partial y^{n-k}}\mathrm dx^k\mathrm dy^{n-k}$$

比如

$$\mathrm d^2z=f_{xx}(x,y)\mathrm dx^2+2f_{xy}(x,y)\mathrm dx\mathrm dy+f_{yy}(x,y)\mathrm dy^2$$

已知全微分求未知数
已知$(x^2+axy)\mathrm{d}x+(x^2+3y^2)\mathrm{d}y$为某函数全微分试确定$a$的值.
做法:先设$\mathrm{d}z=$xxx,列出来式子:

$$\begin{cases}x^2+axy=\frac{\partial z}{\partial x}\\x^2+3y^2=\frac{\partial z}{\partial y}\end{cases}$$

然后根据这个式子求偏导求$a$的值:

$$\boxed{\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}}$$

多元函数求极值:
1. 求出满足$\large\begin{cases}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\ \frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}$的$(x,y)$
2. 设$A=\large{\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}},B=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y},C=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$,并将1的结果代入算出$A,B,C$具体数值
3. 判断

$$\boxed{B^2-AC\begin{cases}<0\begin{cases}A<0&极大值点\\A>0&极小值点\end{cases}\\=0\qquad不确定\\>0\qquad不是极值点\end{cases}}$$

多元隐函数求极值:

1. 求出满足$\large\begin{cases}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\\frac{\partial z}{\partial y}=0\\原方程\end{cases}$的$(x,y)$

别的同上

多元函数求最值
1. 求出两个偏导都等于0的解
2. 找出定义域边界
3. 将1,2步的解和边界都带进去
4. 如果得到式子,就求最大取值和最小取值

条件极值:$\mathbf{Lagrange}$乘数法:
1. 引入$L(x)=f(x)+\lambda\phi(x)$
2. 计算$\nabla L(x)=0$和$\phi(x)=0$(即满足条件和满足极值)
3. 根据实际情景判断是极大值还是极小值.

多元函数的$\mathbf{Taylor}$公式:

带$\mathrm{Lagrange}$余项的n阶$\mathrm{Taylor}$公式:至少存在一个$\theta\in(0,1)$满足

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\sum^n_{k=1}\frac{1}{k!}\Big(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y}\Big)^kf(x_0,y_0)+R_n$$ $$R_n=\frac{1}{(n+1)!}\Big(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac\partial{\partial y}\Big)^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,y_0+\theta\Delta y)$$

带$\mathrm{Peano}$余项的n阶$\mathrm{Taylor}$公式:当$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0$有

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\sum^n_{k=1}\frac{1}{k!}\Big(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y}\Big)^kf(x_0,y_0)+R_n$$

其中

$$R_n=o(\rho^n)$$

$\mathbf{Maclaurin}$公式:
$x_0,y_0$从0开始,余项不变.

拉格朗日中值定理:

$$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0+\theta\Delta x)\Delta x\qquad(0<\theta<1)$$

在二元函数上的拓展($\Delta z$叫做全增量,式子长得很像前缀和):

$$\begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y\\&=f_x(x_0,y_0+\theta_1\Delta y)\Delta x+f_y(x_0+\theta_2\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta y\end{aligned}$$

变限积分求导公式用于解决积分求偏导的问题:

$$\boxed{\Big(\int^{b(x)}_{a(x)}f(t)\mathrm{d}t\Big)'=b'(x)f(b(x))-a'(x)f(a(x))}$$

方向导数:按照方向向量的极限就是方向导数. $\mathbf e(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是 $\mathbf l$ 同方向的单位向量,则

$$\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(x_0,y_0)}=\lim _{t\to0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$$

函数可微能推出来方向导数存在,方向导数可以由偏导计算.

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta}$$

梯度:

$$\boxed{\mathbf{grad}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\mathbf i+f_y(x_0,y_0)\mathbf j}$$

$\nabla$ 这玩意读作 $nabla$ ,又叫哈密顿算子.

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(x_0,y_0)}=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf e_l}$$

发现梯度其实划定了该点方向导数的变化范围.

算子性质:(很像导数的性质)

$$\nabla(c_1u+c_2v)=c_1\nabla u+c_2\nabla v$$ $$\nabla uv=v\nabla u+u\nabla v$$ $$\nabla(\frac{u}{v})=\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}$$ $$\nabla f(u)=f'(u)\nabla u$$

习题处理:

求偏导:$eg:u=f(x-y+z,x^2+y^2-z^2)$做法:找项
答案:$u_x=f’_1+2xf’_2,u_y=-f’_1+2yf_2’,u_z=f’_1-2zf’_2$

求高阶导:把函数写进去就很好求了:$eg:z=f(x^2+y)$
答案$z_{xx}=2f’(x^2+y)+4x^2f’’(x^2+y)$

几何求偏导:该点函数分别求偏导组成的向量就是法向量,可以直接比较平行或垂直关系.

第三章 重积分

$$\iint_D$$

第四章 三重积分

$$\iiint_\Omega$$

换元问题

弧微分(线)转换系数:

$$\mathrm ds=\sqrt{(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2}=...\mathrm dt$$

面积分转换系数:

$$\mathrm dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm dx\mathrm dy$$

带参数方程的xy可以转换如下:

$$\begin{cases} x=r\sin\theta\\ y=r\cos\theta \end{cases},\theta\in[0,2\pi]$$

此时

$$\mathrm dx\mathrm dy=r\mathrm dr\mathrm d\theta$$

另

$$\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi\\y=r\sin\theta\sin\varphi\\z=r\cos\theta\end{cases},\theta\in[0,2\pi],\varphi\in[0,\pi]$$

此时

$$\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r^2\sin\theta\mathrm dr\mathrm d\theta\mathrm d\varphi$$

旋转体计算

函数 $y=\sqrt x$ 绕x=2,x轴旋转一周求体积表面积.

$$S=\int_0^12\pi\sqrt x\mathrm ds$$

其中2pi是旋转一个点旋转一周的线长,sqrt x就是函数, $\mathrm ds=\sqrt{(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2}=\sqrt{1+\frac1{4x}}\mathrm dx$

体积比较简单:

$$V=\int_0^1\pi(\sqrt x)^2\mathrm dx$$

pi r^2就是面积,直接dx就行.

概念

梯度 :

$$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=(f_x,f_y)$$

得到的是一个向量,不需要写xx i,xx j,xx k.

散度 :

$$\mathrm{div}\,\mathbf{a}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

旋度 :

$$\mathbf{rot\,a}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$$

Green公式

$$∫_C(P\mathrm dx+Q\mathrm dy)=∫_D​(\frac{∂Q}{∂x}−\frac{∂P}{∂y})\mathrm dx\mathrm dy$$

Stokes公式

如果满足右手法则,还是个闭合曲线,就满足

$$\oint_{L}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\iint_{\sum}\begin{vmatrix}\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$$

Gauss公式

面封闭,导数连续的时候可以用,dV是求体积.

$$\unicode{8751} P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dx\mathrm dz+R\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_{Ω}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm dV$$

合一投影法

原理:

$$\mathrm dy\mathrm dz=-z_x\mathrm dx\mathrm dy,\mathrm dz\mathrm dx=-z_y\mathrm dx\mathrm dy$$

于是设外法向量是 $\overrightarrow n=(-z_x,-z_y,1)$
偏导想办法算出来:

$$\iint_{\sum}P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dx\mathrm dz+R\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{D_{xy}}P(-z_x)+Q(-z_y)+R\mathrm dx\mathrm dy$$

第一型曲线积分

$$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(\theta),y(\theta))\cdot\sqrt{(x'(\theta))^2+(y'(\theta))^2}\mathrm d\theta,\alpha<\beta$$ $$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\cdot\sqrt{1+(y'(x))^2}\mathrm dx,a<b$$

性质:

1. $\int_L1\mathrm ds=L$ 的长度
2. 若L关于y轴对称, $L_1$ 是L的 $x\ge 0$ 部分,有

条件	性质
$f(-x,y)=f(x,y)$	$\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s = 2 \int_{L_1} f(x,y)\mathrm{d}s$
$f(-x,y)=-f(x,y)$	$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=0$

1. 若L关于x轴对称, $L_2$ 是L的 $y\ge0$ 部分,有

条件	性质
$f(x,-y)=f(x,y)$	$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=2\int_{L_2}f(x,y)\mathrm ds$
$f(x,-y)=-f(x,y)$	$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=0$

第二型曲线积分

$\theta$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$

$$\int_{L}P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=\int_{\alpha}^{\beta}(P(x(\theta),y(\theta))\cdot x'(\theta)+Q(x(\theta),y(\theta))\cdot y'(\theta))\mathrm dt$$

x从a到b

$$\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=\int_a^b(P(x,y(x))+Q(x,y(x))\cdot y'(x))\mathrm dx$$

性质计算 $\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy$ :

条件	性质
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$	积分与路径无关
L为正向(逆时针)无交叉封闭曲线,且PQ在L围城的区域里有一阶连续偏导	$\oint_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy$
L为逆向(顺时针)无交叉封闭曲线,且PQ在L围城的区域里有一阶连续偏导	$\oint_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy=-\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy$

第一型曲面积分

1. 求 $\sum:z=z(z,y)$ 计算 $\iint_{\sum}f(x,y,z)\mathrm ds$
   步骤:
   1.画出 $\sum$ ,然后表示 $D_{xy}$ (也就是图形在xy区域投影)
   2.将 $\sum$ 表示成z=?的形式,求出 $f(x,y,z(x,y))$
   3.求出 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$
   4.带公式 $$\iint_{\sum}f(x,y,z)\mathrm ds=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}\mathrm dx\mathrm dy$$ (别的平面的映射也一样)

   第二型曲面积分

   计算 $\iint_{\sum}P(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz$ $$\begin{cases} 若从x正半轴向原点能看到曲面I,则有\iint_{\sum}P(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz=\iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)\mathrm dy\mathrm dz\\ 若从x正半轴向原点看不到曲面I,则有\iint_{\sum}P(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz=-\iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)\mathrm dy\mathrm dz\\ 若从x正半轴向原点看到曲面缩成曲线,则\iint_{\sum}P(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz=0 \end{cases}$$

例题

1. 单位化 $$\mathrm ds=\mathrm d\cos a x\mathrm d\cos by\mathrm d\cos cz$$ 其中 $(\cos a,\cos b,\cos c)$ 是线段单位向量.

   级数

   数项级数:数列

{s_n}:前缀和

几何级数:等比数列

性质:

1. 两个收敛级数相加的结果就是极限的结果
2. 级数收敛于s,乘上一个常数的结果就是as
3. 在一个级数的前面加上有限项和删除有限项的级数敛散性不变(因为后面的级数相减趋于定值,改变前几项是没用的)
4. 收敛级数中任意加括号不改变收敛性也不改变和

加括号的定义是把任意几项合并成一个数字,然后形成一个新的级数,如:

$$a-a+a-a+a...$$

发散,加括号形成

$$(a-a)+(a-a)+...$$

是收敛的.

1. 数项级数收敛的必要条件是 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$

敛散性判定

正项级数:所有项均非负的级数.

1. 比较判别法:设正项级数 $u\le v$ ,若v收敛,则u收敛,若u发散,则v发散.

结论: p级数 :

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}=1+\frac 1{2^p}+\frac1{3^p}...$$

在 $p\le1$ 时,级数发散, $p>1$ 时函数收敛.

极限形式 :设

$$\lim_{n\to\infty}\frac uv=l$$

若 $0<l<+\infty$ ,则两个函数敛散性相同
若 $l=0$ 且v收敛,则u也收敛
若 $l=+\infty$ 且v发散,则u也发散.

1. 比值判别法:正项级数相邻两项之间的比较:

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$$

   当 $\rho<1$ 时级数收敛, $\rho>1$ 时级数发散,=1时可能发散也可能收敛.

2. 根值判别法(柯西判别法):正项级数u有

   $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$$

   当<1时级数收敛,>1时级数发散,=1时敛散性不定.

3. 积分判别法(基本用不上)

函数f(x)是 $\ge1$ 上的非负递减函数,f(n)=u(n),级数收敛充要条件是无穷积分 $\int_{1}^{+\infty}f(x)\mathrm dx$ 收敛.

任意项级数

柯西收敛准则 :数项级数收敛的充要条件是 $\forall\varepsilon>0,\exists N>0,$ 当 $n>N$ 时,对一切整数p有

$$|s_{n+p}-s_n|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k\right|<\varepsilon$$

理解:n越大的时候几项加一起结果越趋向0.

交错级数 :

$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}u_n,(u_n>0)$$

该交错级数收敛有 莱布尼茨判别法 :

1. $$u_n\ge u_{n+1}$$
2. $$\lim_{n\to \infty}u_n=0$$

特别注意 :莱布尼茨判别法不是必要条件!!!

绝对收敛与条件收敛

取绝对值后的级数收敛叫 绝对收敛 ,若绝对值的级数发散但是原级数收敛叫 条件收敛 .

如果用比值或者根值判定|u|发散,则u必定发散.

级数乘法运算:uv两个收敛级数相乘的结果就是两个收敛值直接相乘的结果.

函数项级数

收敛域,收敛区间 :收敛区间是一个开区间,不用考虑端点的状况,收敛域需要考虑端点状况.

每一项都是一个函数的级数.

$$\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...$$

I被称为所有函数的公共定义域,和式被称为I上的 函数项级数 .
对于 $x_0$ 如果级数收敛,则被称为收敛点,否则称为发散点.
所有点的集合被称为 收敛域 或者 发散域 .

设收敛域是I,定义 $s(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ ,被称为和函数.
前n项和定义是 $s_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x)$ .

余项: $R_n(x)=s(x)-s_n(x)=\sum_{k=n+1}^\infty u_{k}(x)$

幂级数(普通生成函数)

多项式. $a_0+a_1x+a_2x^2+…$

阿贝尔定理 :若级数在 $x=\overline x$ 收敛,则满足 $|x|<|\overline x|$ 绝对收敛,反之若发散则 $|x|>|\overline x|$ 发散.

所以幂级数的收敛域是一个以原点为中心的区间.设2R是长度,R被称为收敛半径,(-R,R)被称为收敛区间.

求收敛半径 :若

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho\quad或\quad\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\rho$$

则收敛半径

$$R=\begin{cases}\frac 1\rho&0<\rho<+\infty\\0&\rho=+\infty\\+\infty&\rho=0\end{cases}$$

幂级数运算

首先,必须在收敛半径内,R=min(R1,R2).

标准的多项式操作.

两个幂级数加减得到的幂级数的半径有 $R\ge\min{R_1,R_2}$

分析运算 :设收敛半径为R,和函数为s(x),则有

1. s(x)连续,如果幂级数在边界收敛,那么就有左连续(或者右连续)
2. s(x)可微,且求导之后的幂级数与原幂级数收敛半径相同.
3. s(x)可积,且积分之后的幂级数与原幂级数收敛半径相同.

函数展开幂级数

使用泰勒展开科技.

间接法:使用求导或者积分等方法避免对原函数的直接泰勒展开.

傅里叶级数

大概意思就是,所有函数在 $[-\pi,\pi]$ 内能用包含正弦和余弦的级数模拟.公式

$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

然后

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx$$ $$a_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\mathrm dx,k=0,1,2,...$$ $$b_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\mathrm dx,k=0,1,2,...$$

某题要求只用正弦或者余弦展开,想办法让函数变成奇函数或者偶函数,这就叫奇延拓或偶延拓,然后积分变成二倍的 $[0,\pi]$ 这个区间.

常微分方程

微分方程 :含有自变量,未知函数(或倒数)或微分的方程.

常微分方程 :未知函数是一元函数的方程.

阶 :未知导数的最高阶.

线性微分方程 :关于未知函数和导数都是线性的.下面前三个是,最后一个不是.

$$\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}=-kM,m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-k\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+mg,\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=g\quad,y=y'^2-xy'+\frac{x^2}2$$

全微分方程 :可以转换成某函数全微分的方程: $P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0$ .

可分离变量方程 :能拆成下面形式的,右边是两个独立的一元函数之积.

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)g(y)$$

齐次方程 :形如下面的.

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi(\frac yx)$$

一阶线性微分方程 :形如下面的:

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)$$

如果 $q(x)\equiv0$ 那就是 一阶齐次线性微分方程 ,否则是 一阶非齐次线性方程 .

齐次 :所有未知变量的次数相等,可以把所有项乘上一个 $y^0$ 然后判断y的次方是不是相等的.
线性 :上面的条件下,所有y都是1次方.

猴博士…

1.求收敛半径:把 $|\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}|<1$ 化成 $|x+?_1|<?_2$ 的形式,然后 $?_2$ 就是半径(x系数必须是1).

2.级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x+b)^n$ 在 $x=x_0(x_0\neq0)$ 时

特征方程的根	通解
单实根a	$C\cdot e^{ax}$
k重实根a	$e^{ax}(C_1+C_2x+…+C_kx^{k-1})$
单复根 $\alpha\pm\beta i$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
k重复根 $\alpha\pm\beta i$	$e^{ax}[(C_1+C_2x+…+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+…+D_kx^{k-1})\sin\beta x]$

3.符合 $y’=p(x)y+q(x)$ 格式求通解,直接带入:

$$y=e^{\int p(x)\mathrm dx}\left(\int q(x)e^{\int-p(x)\mathrm dx}\mathrm dx+C\right)$$

4.可以将xy拆到等号两边的题目求通解:

1. 先把y’变成 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$
2. 放到等号两边
3. 取积分,然后算出积分,得到答案($y=xxx+C$)

5.有复合部分的题目求通解

令u为重合部分,然后对x求偏导:

$$y=ux,,,y'=u+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}$$

然后带入把两边分离出来求积分,最后再把u是啥带回去即可.

6.好几阶导=x啥啥求通解
首先x为0求 $\overline y$
然后将x化为 $x^me^{\lambda x}$ 的格式,求出 $m$ 和 $\lambda$ ,根据下表入的值确定k

$\lambda$ 是	k值
$\lambda$ 不是特征方程的根	0
$\lambda$ 是特征方程单根	1
$\lambda$ 是特征方程多重根	2

然后带入下式:

$$y^{*}=x^{k} (b_0x^m+...+b_mx^0) e^{\lambda x}$$

将这个 $y$ 当作y带入原式子求出b,进而求出 $y$

最后答案就是 $y=\overline y+y^*$ ,加一起就行.

如果有好几项x,那就对每一个x的项求一个特解 $y^*_1$ ,然后最后还是加一起.

7.幂级数展开:设u=要求幂级数,然后代换.
然后对照表的公式展开
最后把a代换回去.

公式	使用条件
$e^u=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}u^n$	无
$\sin a=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}u^{2k+1}$	无
$\cos a=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}u^{2k}$	无
$\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}u^n$	$-1<u\le1$
$\frac1{1+u}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nu^n$	$\mathrm{abs}(u)<1$
$\frac1{1-u}=\sum_{n=0}^\infty u^n$	$\mathrm{abs}(u)<1$