大学物理B学习笔记

Fluorine Wang

2024-01-03

DEAD

Physics

听说大物就是高中物理加微积分,可信度存疑.

考试范围是2-8章,所以本篇博客只有2-8章的内容.

第2章机械振动

2.1 简谐振动

胡克定律

$F=-kx$

设物体质量为m,牛二得

$F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}$

将上二式合并改写得

$\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-\frac kmx=-\omega^2x$

式子的解是

$x=A\cos(\omega t+\varphi)$

其中A和varphi都是积分常数.
式中

$\omega^2=\frac km$

$\omega$是一个系统自身性质决定的常量.拓展:任意满足下式的都可以被称为简谐运动(式子的意思是加速度与位移均匀变化)

$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}=-\omega^2y$

任意时刻的速度和加速度,自己求导算.下面摆以下式子,不需要记.

$\begin{aligned}\upsilon&=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\omega A\sin(\omega t+\varphi)\\\ a&=\frac{\mathrm d\upsilon}{\mathrm dt}=-\omega^2A\cos(\omega t+\varphi)\end{aligned}$

振幅:A.

周期:T,单位s.(其中mk都是振子的自身物理属性,可见这些都是固有的)

$T=\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac mk}$

振动频率:$\nu$,单位Hz.

$\nu=\frac\omega{2\pi}=\frac 1T=\frac1{2\pi}\sqrt\frac km$

圆频率:$2\pi$秒内震动次数,单位$\mathrm{rad\cdot s}^{-1}$.

$\omega=2\pi\nu$

相位:$(\omega t+\varphi)$,又叫位相,又叫相.
初相:$\varphi$.

求解初相自己算.
部分公式应当点到为止,1记不住2能推导的式子没有记忆的必要.

相位差:

$\Delta\varphi=(\omega_2t+\varphi_2)-(\omega_1t+\varphi_1)$

同频率简谐相位差公式略.
如果$\Delta\varphi=2k\pi$叫做同相
$\Delta\varphi=\pi+2k\pi$叫做反相.负的叫落后,正的叫领先,范围在$[-\pi,\pi]$.

简谐运动能量:就是$E=\frac12kA^2$,平衡点在$\pm\frac{\sqrt2}2A$处.
旋转矢量法:有一个点围着x逆时针转,投影点就是x,初始时和x轴夹角是$(\omega t+\varphi)$.

简谐振动的合成

同方向同频

合振幅

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$

初相满足

$\tan\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}$

$\varphi$角的象限可以通过振动的矢量图直接判定.

同方向频率相近简谐振动合成:很复杂不会考计算的.
2.3*振动的分解和频谱分析
2.4*阻尼振动受迫振动共振
这俩都有星号,考试不考.

第3章机械波

机械波产生条件:波源和弹性介质.

声音是纵波,光是横波.

波线,波面:表示波的传递方向,任意时刻振动相位相同的成为波面(波阵面,同相面),最前面的波面叫波前.波线与波面垂直.球面波,正如字面意思.

波长,周期,频率:$\lambda$,完整波的长度$T,\nu$.
波速:用$u$表示.公式:

$\lambda=uT$ $u=\lambda T=\nu\lambda$

波函数:以下公式表示:

$y_0(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$

时间落后:

$y=A\cos\Big[\omega\Big(t-\frac xu\Big)+\varphi\Big]$

波形方程:波在某点形成的曲线.

波形向前推移:经过dt时间,出现在x+dx处,公式为

$A\cos[\omega(t-\frac xu)+\varphi]=A\cos[\omega(t+\Delta t-\frac{x+\Delta x}u)+\varphi]$

行波:向前推移,走的波叫行波.

波动方程

听起来很神秘.
无吸收的各向同性的三维空间的一切传播的波动过程均满足下式:

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=\frac 1{u^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$

其中的$\psi$可以代表任何物理量.波函数,etc.

波的能量能流密度

能量密度:介质单位体积内的波动能量.

$w=\frac{\mathrm dE}{\mathrm dV}=\rho A^2\omega^2\sin^2\omega(t-\frac xu)$

这个是随时间变化的,平均能量密度是

$\overline w=\frac 1T\int_0^T\rho A^2\omega^2\sin^2\omega(t-\frac xu)\mathrm dt=\frac 12\rho A^2\omega^2$

能流:单位时间内,通过介质某面积的能量.

$P=\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=wuS=\rho A^2\omega^2uS\sin^2\omega(t-\frac xu)$

平均能流:

$\overline P=\overline wus=\frac 12\rho A^2\omega^2uS$

能流密度:单位时间内垂直于波线的单位面积平均能量.(也叫波强,单位$\mathrm{W\cdot m^{-2}}$)

$I=\frac{\overline P}S=\frac 12\rho A^2\omega^2u=\overline wu$

矢量式:

$\overrightarrow I=\overline w\cdot\overrightarrow u=\frac 12\rho A^2\omega^2\overrightarrow u$

声波:20-20000Hz.声波的强度叫声强,声强级是比较声波强度的概念.单位B(贝尔),实际一般使用分贝(dB),$1B=10dB$.
以$10^{-12}\mathrm{W\cdot m^{-2}}$为基准声强.($I_0$)

$L=\lg\frac I{I_0}(\mathrm B)=10\lg\frac I{I_0}(\mathrm{dB})$

波的衍射反射折射叠加,惠更斯原理:略

波的干涉

两个波方程在P点的干涉,合起来是

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$

其中

$\Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2-\frac{2\pi}\lambda(r_2-r_1)$

式子可以理解为波函数先在P点的波形方程,然后两个波形方程叠加(回归上一章)
初相$\varphi$满足

$\tan\varphi=\frac{A_1\sin(\varphi_1-\frac{2\pi r_1}\lambda)+A_2\sin(\varphi_2-\frac{2\pi r_2}\lambda)}{A_1\cos(\varphi_1-\frac{2\pi r_1}\lambda)+A_2\cos(\varphi_2-\frac{2\pi r_2}\lambda)}$

还是那句老话:2k pi振动加强,pi+2k pi振动减弱.
实际条件中两个相干波源可能是同一个震源驱动的,初相相同,干涉极值可以用波程差表示.

$\delta=r_2-r_1=k\lambda\\\ \delta=r_2-r_1=(2k+1)\frac\lambda2$

干涉加强和干涉减弱的式子.整数波长加强,半数波长减弱.

驻波

干涉的一种特殊情况,合成的波并不向前传递,表现为某些点就是一直不动,然后这些点把绳子分开,像跳绳一样.

波节:振动不动的点.
波腹:有些点的振幅始终最大.

设两个波的初相都是0,波动方程为

$y=A\cos2\pi(\frac tT-\frac x\lambda)$

叠加一下,用个和差化积,得到

$y=2A\cos2\pi\frac x\lambda\cos\frac{2\pi}Tt$

所以波节满足振动位移是0,带入解出

$x=\pm(2k+1)\frac\lambda4$

同理波腹也能这么求出来:

$x=\pm k\frac\lambda2$

他俩之间有半个波长距离.

半波损失

一般情况下,半波损失和波的种类,两种介质的性质和入射角大小都有关.但是波垂直入射时,半波损失由介质密度和波速乘积$\rho v$决定.这个数大的叫波密介质,这个小的叫波疏介质,波疏到波密有半波损失,反之没有,界面是驻波波腹.

弦上驻波

由于两固定端必为波节,所以弦长是半波长的整数倍,有

$L=n\frac\lambda2$

所以频率能求出来是

$\nu_n=n\frac u{2L}$

所以满足条件才能形成驻波,分别是基频,一次谐频,二次谐频,三次谐频…(取决于n的取值)

多普勒效应

其实就是速度变成$u+u_B$,别的都一样,只需要换个参考系.

第4章静电场

基本电荷量(油滴实验测的):

$e=1.602176462\times10^{-19}\mathrm C$

库仑力:

$\overrightarrow F=k\frac{q_1q_2}{r^2}\overrightarrow e_r$

其中r是矢量$\overrightarrow r$的大小,$\overrightarrow e$是方向矢量,k是一个常数,大小为

$k=8.9880\times10^9\mathrm{N\cdot m^2\cdot C^{-2}}\approx9\times10^9\mathrm{N\cdot m^2\cdot C^{-2}}$

为了简化公式,定义一个真空介电常量,或真空电容率即

$\varepsilon_0=\frac1{4\pi k}=8.85\times10^{-12}\mathrm{C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}}$

(所以有下式,为了和高中转换思路):

$k=4\pi\varepsilon_0$

公式改写为

$\overrightarrow F=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\overrightarrow e_r$

电场强度:

$\overrightarrow E=\frac{\overrightarrow F}{q_0}$

好几个电场就矢量叠加,公式略.
受力:

$\overrightarrow F=q_0\overrightarrow E$

点电荷场强:

$\overrightarrow E=\frac q{4\pi\varepsilon_0r^2}\overrightarrow e_r$

(r的方向是产生电场的电荷直接指向试验电荷)
好几个点电荷:直接矢量相加.
连续带电体的场强:(划分为好多个点电荷元$\mathrm dq$求电场元$\mathrm dE$)矢量积分

$\overrightarrow E=\int\mathrm d\overrightarrow E=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{r^2}\overrightarrow e_r$

可以分解为

$E_x=\int\mathrm dE_x,E_y=\int\mathrm dE_y,E_z=\int\mathrm dE_z\\ E=\sqrt{E_x^2+E_y^2+E_z^2}$

电偶极子:相隔较近的两个等量异号的点电荷.
电偶极矩:大小是单个极子的电量乘距离,方向负到正.即

$\overrightarrow p=q\overrightarrow l$

静电场中的电介质电位移矢量

分子受电场作用自己也会一字排开,然后产生一个极化电荷的电场,然后抵消原来的电场.公式

$\overrightarrow E=\frac{\overrightarrow E_0}{\varepsilon_r}$

式中$\varepsilon_r$叫相对介电常数,$\overrightarrow E_0$是原来的电场.真空的介电常数为1,空气近似1.
假如电场太过强力,会把分子拆开变成自由电荷(击穿),临界电场强度叫 介电强度.
电介质的介电常数:

$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$

这个$\varepsilon$的作用是替换之前的$\varepsilon_0$,代表某介质中的 介电常数 使用,别的不变.

电极化强度:电介质单位体积内电偶极矩的矢量和.

$\overrightarrow P=\frac{\sum\overrightarrow p_{分子}}{\Delta V}$

反映了介质内电极化的强弱和方向.
极化电荷与电极化强度之间的关系:设两平面的自由电荷面密度是$\sigma$和$-\sigma$,有

$\sigma'=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\sigma$

表示自由电荷密度$(\sigma)$和极化电荷密度$(\sigma’)$的关系.
利用$q=\sigma S$带入得

$\overrightarrow P=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\sigma=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E=\overrightarrow P=\varepsilon_0\chi_e\overrightarrow E$

(定义$\chi_e=\varepsilon_r-1$表示电极化率).理论上是个常数,但实际上极化介质需要时间,高频电场会让介电常数与外加电场频率有关.

电位移矢量:定义如下

$\overrightarrow D=\varepsilon_0\overrightarrow E+\overrightarrow P$

单位$\mathrm{C\cdot m^{-2}}$.
平板电场的特例:(等于电荷面密度)

$D=\sigma$

仍然满足矢量叠加原理.

$D=\frac{\mathrm d\varPhi_e}{\mathrm dS_\perp}$

这表明,电场中某点电位移矢量大小等于该点处电位移线的密度.

这个时候要祭出一个公式衔接高中:

$\boxed{E=\frac D\varepsilon}$

静电场中的高斯定理

电场线,电位移线:永不闭合(无旋性),切线方向垂直,永不相交.电位移线线和电场线长得一样,只是量纲不太一样.

电通量:用$\varPhi_e$表示.

$\varPhi_e=\overrightarrow D\cdot\overrightarrow S$

任意曲面:

$\varPhi_e=\int_S\overrightarrow D\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

闭合曲面:

$\varPhi_e=\oint_S\overrightarrow D\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

高斯定理:空间内分布好多个点电荷,空间内做一个任意形状的闭合曲面(叫做高斯面),有的点电荷在面内有的在面外,通过该面的电通量只与面内的点电荷有关,等于其中的自由电荷量的代数和.公式为:

$\oint_S\overrightarrow D\cdot\mathrm d\overrightarrow S=\sum_{(S内)}q_i$

直线的电荷线密度:$\lambda$.作用:
一段线的带电量

$\sum q_i=\lambda l$

很方便.

几个结论

球面的电场强度

$E=\begin{cases}\frac q{4\pi\varepsilon r^2}&(r>R)\\\ 0&(r<R)\end{cases}$

球体的电场强度($\varepsilon_1$表示内部介电常数,2是外部的)

$E=\begin{cases}\frac q{4\pi\varepsilon_2r^2}&(r>R)\\\ \frac{qr}{4\pi\varepsilon_1R^3}&(r<R)\end{cases}$

柱对称的状况

$E=\frac\lambda{2\pi\varepsilon r}$

圆柱面的情况:同理,内部是0外部和上面公式一样.

圆柱体的状况:理解”电荷体密度”的意思:”电荷体密度”和”电荷线密度”,单位不一样,直接乘面积或者体积就是对应的电荷量,所以这个可以自己导式子了.

无限大均匀带电平面的分布:

$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon}$

静电场的环路定理电势

任何做功与路径无关的电场叫做 保守场.静电场是保守场,静电力是保守力.

电势

$U_A=\int^\infty\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow l$

两点的电势差:

$U_{ab}=U_a-U_b$

又叫电压,符号福特.

等势面:略.

电场强度和电势梯度:有

$\overrightarrow E=-\nabla U$

意思是某点电场强度就是电势梯度的负值.

注意:1.场强方向是电势衰减最快的方向.
2.场强大小和变化率有关,与电势值并无直接关系.

静电场中的导体:记住一个结论:越尖端积聚电荷量越大.
静电屏蔽:网罩,尽量减少电场对精密器械的影响.
接地:金属空腔内放一个电子会往外辐射电场,但是如果空腔接地那就不会有电场溢出.

电容

公式

$C=\frac qU$

单位法拉.

$\mathrm{1F=1C/V,1F=10^6\mu F=10^{12}pF}$

求电容:

平板容器:先求电场:

$D=\sigma,E=\frac\sigma\varepsilon$

两点间电势差

$U_{AB}=Ed=\frac{qd}{\varepsilon S}$

所以

$C=\frac{\varepsilon S}d$

有

$\frac C{C_0}=\frac \varepsilon{\varepsilon_0}=\varepsilon_r$

带r的那个是相对介电常数.

圆柱形电容器的电容:
先求电场:

$E=\frac \lambda{2\pi\varepsilon r}$

然后求电势差

$U_{AB}=\int^B_A\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow l=\int^{R_B}_ {R_A}\frac\lambda{2\pi\varepsilon r}\mathrm dr=\frac\lambda{2\pi\varepsilon}\ln\frac{R_B}{R_A}$

故有

$C=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\frac{R_B}{R_A}}$

球形容器的电容:先求电场

$E=\frac q{4\pi\varepsilon r^2}$

然后求出来电势差

$U_{AB}=\int^B_A\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow l=\int^{R_B}_ {R_A}\frac q{4\pi\varepsilon r^2}\mathrm dr=\frac q{4\pi\varepsilon}\Big(\frac 1{R_A}-\frac 1{R_B}\Big)$

最后求出来电容:

$C=\frac q{U_{AB}}=4\pi\varepsilon\frac{R_AR_B}{R_B-R_A}$

电容串联:

$\frac 1C=\frac 1{C_1}+\frac 1{C_2}+...$

更不容易击穿,但是电容变小了.
电容并联:

$C=C_1+C_2+...$

直接相加,电容变大,但是更容易被击穿,取决于能力最低的电容.

电容能量:

$W_e=\frac 12CU^2_{AB}=\frac 12U_{AB}Q$

电场能量:先引入电场能量密度的概念,用$w_e$表示:

$w_e=\frac 12DE=\frac 12\varepsilon E^2=\frac 12\overrightarrow D\cdot\overrightarrow E$

所以(V是电场空间所占体积)

$W_e=\frac 12\varepsilon E^2V=\int w_e\mathrm dV$

第5章稳恒磁场

电流和电流密度

电流的定义式

$I=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$

电流密度使用$\overrightarrow J$表示,公式为

$\overrightarrow J=\frac{\mathrm dI}{\mathrm dS_\perp}=\rho_e\overrightarrow v$

垂直电流线.其中$\rho_e$是平均电流密度,$\overrightarrow v$是该点电荷运动速度的平均值,称为迁移速度.

$\overrightarrow J=ne\overrightarrow v$

其中n是单位体积内载流子数目,e是载流子电荷量.如果有好几种电荷和不同的速度那就是他们的矢量和.

稳恒电场欧姆定律

$I=\frac UR$

适用范围,金属导体,电解液.
电导:单位S(西门子),欧姆倒数.

$G=\frac1R$

电阻率:

$R=\rho\frac lS$

不均匀时:

$R=\int\frac{\rho\mathrm dl}S$

电导率:

$\sigma=\frac1\rho$

电阻率和温度之间有以下关系:

$\rho=\rho_0(1+\alpha t)$

其中$\alpha$叫做电阻温度系数.

魔改欧姆定律:

$\overrightarrow J=\sigma\overrightarrow E$

其中$\overrightarrow E$是电场强度.对非稳恒情况也适用,具有更大的普遍性.

电动势

$\overrightarrow E_k=\frac{\overrightarrow F_k}q$

叫做 非静电场强,他的作用使得正极积聚正电荷,负极积聚负电荷,形成电流.

$\varepsilon=\frac Aq=\oint_L\overrightarrow E_k\cdot\mathrm d\overrightarrow l$

式中$\varepsilon$叫做电动势,单位是伏特.

磁场

磁感应强度:(最大力的时候是电子垂直磁场运动(废话))

$B=\frac{F_{\max}}{qv}$

单位特斯拉(T).
电流元产生磁场:设电流元为$I\mathrm d\overrightarrow l$,方向与电流相同,于是有

$\mathrm d\overrightarrow B=k\frac{I\mathrm d\overrightarrow l\times\overrightarrow r}{r^3}$

k为比例系数,大小和上式单位有关.如果国际单位制就是:

$\mathrm d\overrightarrow B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm d\overrightarrow l\times\overrightarrow r}{r^3}$

积分形式是

$\overrightarrow B=\int_L\mathrm d\overrightarrow B=\int_L\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm d\overrightarrow l\times\overrightarrow r}{r^3}$

其中$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$叫做真空的磁导率.

运动电荷的磁场:

$\overrightarrow B_1=\frac{\mathrm d\overrightarrow B}N=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\overrightarrow v\times\overrightarrow r}{r^3}$

上面两个定律的应用

无限长直导线在某点产生的磁场(a是距离):

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$

环形导线的磁场(中心线上):

$B=\frac{\mu_0}2\frac{R^2I}{(R^2+x^2)^{\frac32}}$

直螺线管的磁场:(这个细讲讲,会导式子就行)
螺线管很密,所以每个电流元可以取$n\mathrm dl$,这条段上线圈在P点产生的磁感应强度就是

$\mathrm dB=\frac{\mu_0}{2}\frac{R^2In\mathrm dl}{(R^2+l^2)^\frac32}$

考虑对B求积分,引入变量$\beta$表示矢径之间的夹角,看图发现$l=Rc\tan\beta,\mathrm dl=-R\csc^2\beta\mathrm d\beta$,利用$R^2+l^2=R^2\csc^2\beta$得

$B=\int-\frac{\mu_0}2nI\sin\beta\mathrm d\beta$

$\beta$的上界和下限分别为$\beta_1,\beta_2$,带入得

$B=\frac{\mu_0}2nI(\cos\beta_2-\cos\beta_1)$

方向沿轴线向右.无限长:

$B=\mu_0nI$

对于长直螺线管,边缘的大小是二分之中间的大小.

磁感线:几个性质

任意两条磁感线不会相交.(因为任意一点方向是唯一确定的)
磁感线是无头无尾的闭合曲线.
磁场较强的地方磁感线比较密集.

磁通量磁场中的高斯定理:
单位Wb(韦伯).

$\varPhi_m=\int_S\overrightarrow B\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

高斯定理:对于任意闭合曲面的总磁通量为0(磁场是无源场).

$\oint_SB\cos\theta\mathrm dS=\oint_S\overrightarrow B\cdot\mathrm d\overrightarrow S=0$

磁介质,磁化强度

加星不讲.

$\overrightarrow H=\frac{\overrightarrow B}\mu$

$\mu$被称为介质的磁导率,有$\mu=\mu_0\mu_r$,H是新引入的概念,表示磁场强度.

安培环路定律

环流:(顺着磁场线)

$\oint_L\overrightarrow H\cdot\mathrm d\overrightarrow l=\oint_LH\mathrm dl=\frac{I}{2\pi r}\oint\mathrm dl=\frac I{2\pi r}\cdot2\pi r=I$

上式表明积分和只与传导电流有关.反向积分结果是负的.
多个导线:

$\oint_L\overrightarrow H\cdot\mathrm d\overrightarrow l=\oint_LH\cos\theta\mathrm dl=\sum I_i$

上式被称为安培环路定律.

磁场对载流导线的作用

安培力公式:

$\overrightarrow F=\int_LI\mathrm d\overrightarrow l\times\overrightarrow B$

洛伦兹力:

$F_{\max}=qvB$ $\overrightarrow F=q\overrightarrow v\times\overrightarrow B$

洛伦兹力公式.(左力右电…)

$R=\frac{mv_0}{qB}$ $T=\frac{2\pi R}{v_0}=\frac{2\pi m}{qB}$

螺距:转一圈差多少距离(这里把速度分解了,升天的速度是$v_0\cos\theta$)

$h=\frac{2\pi mv_0\cos\theta}{qB}$

霍尔效应:略.

第6章电磁场理论基础

电磁感应:
感生电动势:

$\varepsilon=-\frac{\mathrm d\varPhi}{\mathrm dt}$

电荷:

$q=\int_{\Delta\varPhi}-\frac1R\mathrm d\varPhi$

楞次定律:阻碍.

感生和动生电动势

动生电势

$\varepsilon=\int_a^b(\overrightarrow v\times\overrightarrow B)\cdot\mathrm d\overrightarrow l$

三者垂直有

$\varepsilon=Bvl$

(上面的是正常的导体棒移动的电动势)

$\mathrm d\varepsilon=Bv\mathrm dr=B\omega r\mathrm dr$ $\varepsilon=\int\mathrm d\varepsilon=\int_0^1B\omega r\mathrm dr=\frac 12B\omega l^2$

导体棒旋转产生的电动势.

感生电势

$\oint_L\overrightarrow E_k\cdot\mathrm d\overrightarrow l=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_S\overrightarrow B\cdot\mathrm d\overrightarrow S$ $\oint_L\overrightarrow E_k\cdot\mathrm d\overrightarrow l=-\int_S\frac{\partial\overrightarrow B}{\partial t}\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

两个式子无非磁通量变化.

趋肤效应:趋肤效应是导线在高频交流电作用下电流会主要趋近导线表面,所以常常用多股导线代替一根长直导线,而且可以利用涡流导致的趋肤效应淬火,表面快速升温淬火变硬,但是内部还是维持原先的韧性.

自感

$\varPhi=LI$

L是自感系数,单位亨利(H)

$\varepsilon_L=-L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}$ $\varepsilon_L=-\frac{\mathrm d\varPhi}{\mathrm dt}=-(L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+I\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt})$

感生电动势阻碍.

自感电路中的衰减和增长过程:弛豫时间$t=\tau=L/R$
然后求积分计算.

磁场的能量

自感线圈存储的能量:(其实就是螺线管)

$W_m=\frac12LI^2$

磁场能量密度:

$w_m=\frac{B^2}{2\mu}=\frac12BH=\frac12\mu H^2$

推广:

$W_m=\int_V\mathrm dW_m=\int_Vw_m\mathrm dV=\int_V\frac{B^2}{2\mu}\mathrm dV$

题外话:电缆长为l,半径r,体积设为

$\mathrm dV=2\pi r\mathrm dr$

体会一下,对面积公式求导然后在积分的时候把同轴电缆的两个参数带进去,不需要求体积.

位移电流

非恒定电流的磁场中,安培环路定律不再适用.(因为非恒定状况下,电流不连续)

麦克斯韦认为能等效一个电流出来,叫”位移电流”,能够让变化电场的高斯定理仍然成立.

$\oint_S\overrightarrow D\cdot\mathrm d\overrightarrow S=q$

然后先对时间求导,有

$\oint_S\frac{\partial\overrightarrow D}{\partial t}\cdot\mathrm d\overrightarrow S=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$

带入方程可得

$\oint_S(\overrightarrow j+\frac{\partial\overrightarrow D}{\partial t})\cdot\mathrm d\overrightarrow S=0$

这个”勾”就是 位移电流,满足

$\overrightarrow j_d=\frac{\partial\overrightarrow D}{\partial t}$

所以

$I_d=\int_S\overrightarrow j_d\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

全电流:传导电流和位移电流的总和.是连续的.有

$\oint_L\overrightarrow H\cdot\mathrm d\overrightarrow L=I_全=I+I_d=\int_S(\overrightarrow j+\frac{\partial\overrightarrow D}{\partial t})\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

叫做全电流定律.

麦克斯韦方程组

静电场和稳恒磁场的基本方程.

$\oint\overrightarrow D\cdot\mathrm d\overrightarrow S=q\\\ \oint\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow l=-\frac{\mathrm d\varPhi}{\mathrm dt}=-\int_S\frac{\partial\overrightarrow B}{\partial t}\cdot\mathrm d\overrightarrow S\\\ \oint_S\overrightarrow B\cdot\mathrm d\overrightarrow S=0\\\ \oint_L\overrightarrow H\cdot\mathrm d\overrightarrow l=I+I_d=\int_S(\overrightarrow J+\frac{\partial\overrightarrow D}{\partial t})\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

没有教怎么用这个公式.

电磁波

传播速率:(下面的c是光速)

$u=\frac 1{\sqrt{\mu\varepsilon}}\\\ c=\frac 1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$

电磁波的波函数:

$E=E_0\cos\omega(t-\frac zu)$ $H=H_0\cos\omega(t-\frac zu)$

任何时刻,$\overrightarrow E,\overrightarrow H$和波的传播方向都构成一对右旋的直角坐标系.

图炸了

而且$\overrightarrow E\times\overrightarrow H$总是沿着波的方向.(所以光是横波)

任意时刻有:

$\sqrt\mu H=\sqrt\varepsilon E$

E和H分别在各自的平面上传播,体现了光的偏振性.

电磁波的能量:

$S=\frac 12u(\varepsilon E^2+\mu H^2)=EH$

把光速带进去算结论式子.同理矢量式是叉乘.
平面电磁波的强度表示式:

$I=\frac12E_0H_0$

电磁波谱:从能量低到高分别是:
无线电波,红外线,可见光,紫外线,X射线,$\gamma$射线

第7章光的干涉

由于生理上引起感光作用的是$\overrightarrow E$而不是$\overrightarrow H$,所以把E叫做光矢量.

叠加时,各点光强为

$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi$

相位差

$\Delta\varphi=(\varphi_1-\varphi_2)-\frac{2\pi}{\lambda}(r_1-r_2)$

表明,叠加光强具有偶数k pi时干涉极大,奇数k pi时干涉极小.

光程差:光在折射率n的介质中传播的几何路程为r,相当于在真空中传播$L=nr$,叫做光程.

相位差:

$\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-2\pi\frac{n_2r_2-n_1r_1}\lambda$

光程差是二者相减:

$\delta=n_2r_2-n_1r_1$

所以暗纹判定可能会很好用:(phi用2k pi判定)

$\delta=\begin{cases}\pm k\lambda&亮\\ \pm(2k+1)\frac\lambda2&暗\end{cases}$

一个结论:透镜虽然会引起光传播路径的差异,但是不会产生光程差的变化.

获得相干光的办法

分波面法:平行光先透过一个单缝然后分成一束光衍射,然后后面放一个双缝.

分振幅法:一块玻璃,然后一束光打在上面发生反射和折射,反射的光直接出去,折射的打到玻璃底部再反射出去,可以获得两束相干光

附加条件:1两束光不可振幅相差太大,否则看不出来.2光程差不可太大,不然一束光道路另一束还没到.

分波阵面干涉

杨氏干涉(高中实验)

$x=\pm k\frac Da\lambda$

这是明条纹的位置,k是整数,a是两光源之间的距离,D是筒的长度.

$x=\pm(2k+1)\frac{D\lambda}{2a}$

劳埃镜实验:
一束光源和一个镜子,镜子用来反射光模拟一个虚拟的相干光源,1能看干涉条纹,2能观测到反射光的相位发生了跃变.

分振幅干涉

薄膜干涉:

图炸了

所以两束光,一个过薄膜一个没有,中间会有固定的光程差,满足相干光的条件.

$\delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac\lambda2=\begin{cases}k\lambda&亮\\\ (2k+1)\frac\lambda2&暗\end{cases}$

式子最后加的半个波长是半波损失,发生在光从1表面反射到透镜的过程(e是薄膜的厚度,i是入射角,n1是空气折射率,n2是薄膜折射率).

可以发现,在一个薄膜干涉系统中,光程差最后取决于入射角.不同倾角的入射光最后都会形成不同的干涉条纹,叫做 等倾干涉.条纹是内疏外密的明暗相间圆环.

但是可以看到,有一部分光直接透射出去了,这两束透射光也是可以进行干涉的,光程差是

$\delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}$

这里是没有半波损失的,所以发现反射光干涉强了透射光干涉就会减弱,这是符合能量守恒定律的.

劈尖干涉:是 等厚干涉.凡厚度相同的地方都会是同一条干涉条纹.

实验:两个玻璃片边上垫一层纸(劈尖角一般都很小),然后用光垂直入射,会让直接反射和透射玻璃被劈尖反射的光发生干涉.

$\delta=2n_2e+\frac\lambda2$

k入是加强,n2是两个劈尖中间的介质e是劈尖厚度,全程和玻璃板没任何关系,换成空气劈尖都没问题.

$l=\frac\lambda{2n_2\theta}$

表示两个干涉条纹之间的距离

牛顿环:也是一种等厚干涉.光程差:

$\delta=2e+\frac\lambda2$

光程差和半波损失,还是k入明环否则暗环.

$e_k=\frac{r_k^2}{2R}$

其中R是透镜曲率半径.e是对应的空气柱的厚度,也就是

$r_k^2=2Re_k-e_k^2$

所以明环:

$r_k=\sqrt{(k-\frac12)R\lambda}$

暗环:

$r_k=\sqrt{kR\lambda}$

第8章光的衍射

开始就看不懂了…

只有很小的时候,狭缝甚至和光的波长相比拟的时候衍射现象才明显.

区分:当光源和接收屏或二者之一距离有限时叫菲涅尔衍射,或者叫近场衍射,都无限的时候(入射光和衍射光都是平行光的时候)叫夫琅禾费衍射,或远场衍射.

因为夫琅禾费衍射在实际应用中十分重要,而且数学处理比菲涅尔衍射要简单,所以本章只讨论夫琅禾费衍射.

菲涅尔衍射

惠更斯原理:介质中传播到的各点,都可以看成是发射子波的波源,其后的任一时刻,子波的包迹就是新的波阵面.

夫琅禾费衍射

(这里只考虑 单缝衍射 的状况)远场衍射,使用两个凸透镜用来聚光.结构长这样:

1	光->() \| ()-> \|

|上有一条小狭缝,假设太小了你看不到,()表示凸透镜(有俩)

两个透镜的作用:第一个是点光源,透镜会把发散的光变成平行光,然后通过狭缝.第二个透镜的目的是汇聚,把平行光衍射的一个方向的光汇聚在一起,然后打在屏幕上会发生干涉.

入射方向:$\varphi$

不同角度入射的光会有不同程度的光程差,最中间的叫中央明纹,是最大的干涉纹(都加强).否则会有光程差,最大的光程差是最上面的光和最下面的光,决定一个条纹是亮还是暗就取决于这个.

$\delta=BC=a\sin\varphi$

(这个是光程差)

式子里面的BC是一个方向到透镜的夹角的一个小路程:

 |  /    /
 | /    /
A|/    /
 |\   /
 |  \/C(假设BC垂直AC)
 |  /
 | /
B|/

所以有公式

$\delta=a\sin\varphi=\begin{cases}0&中央明纹\\\ \pm2k\frac\lambda2&暗纹\\\ \pm(2k+1)\frac\lambda2&明纹\end{cases}$

特别注意

只有这里是2k入是暗纹,原因是偶数个波长差时AB可以被分成偶数个半波带,然后彼此抵消,就是暗纹的结果了.只有这里是特殊的,不要记混.

单缝衍射条纹特点

x是条纹和中心O的距离,f是透镜焦距,a是狭缝宽,有

$x=\begin{cases}\pm2k\frac{f\lambda}{2a}&暗\\\ \pm(2k+1)\frac{f\lambda}{2a}&明\end{cases}$

注意k从1开始取.

小结论:中央明条纹宽度是正常条纹宽度的2倍,而且衍射条纹是均匀不变的.(条纹距离可以用两个相邻另一种条纹相减算)

光栅衍射

光栅就是一个一个小格凑一起的,分为 反射光栅 和 透射光栅.

透光的宽度是a,不透光的宽度是b,凑一起就是 光栅常数(a+b),一般数量级都在$\mathrm{10^{-5}-10^{-6}m}$的数量级.

光栅方程

主极大:满足方程的条纹叫主极大.

$(a+b)\sin\varphi=\pm2k\pi,k=0,1,2,...$

极小(暗纹):

$(a+b)\sin\varphi=\pm\frac{k'}N\lambda$

次极大:既满足主极大式子又满足单缝衍射暗条纹条件$a\sin\varphi=k’\lambda$证明第k大条纹不再出现,称为光栅缺级现象.

所以有缺级的级数是

$k=\frac{a+b}ak'$

光栅光谱

第几级就是k=几,直接带进去算.

色散本领:

$D_l=\frac{kf}{(a+b)\cos\theta}$

第2章 机械振动