problem -1

If we list all the natural numbers below $10$ that are multiples of $3$ or $5$ , we get $3,5,6$ and $9$ . The sum of these multiples is $23$ .
如果我们列出 $10$ 以内 $3$ 或 $5$ 的所有自然数倍数,能得到 $3,5,6$ 和 $9$ ,他们的和是 $23$ .

Find the sum of all the multiples of $3$ or $5$ below infinity.
找到小于正无穷的所有 $3$ 或 $5$ 的自然数倍数和.

题解(spoiler)

有一个结论:自然数的和是-1/12,我不会证,网上查到的.然后容斥一下就行了,答案很好算,这里不公布.

$\sum_{i=1}^\infty i=-\frac1{12}$

证明(启发式,一句话就是仙,注意力惊人):设

$S=1+2+3+...,T=1-2+3-4+...$

根据下面的生成函数

$\frac1{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+...$

然后带入 $x=1$ 得到 $T=\frac14$ ,然后有

$T=(1+2+3+...)-2\times(2+4+6+...)=-3S$

QED.